Hand-made Solution and CoT for AIME25'(浅浅手撕 AIME25')

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写在前面：

本文档包含了 AIME25’ 问题的详细解题步骤，详细CoT请详见 (Huggingface 仓库)[https://huggingface.co/datasets/IPF/AIME25-CoT-CN]

I-1. 求所有整数底数 的和，使得 是 的因数。

解：

首先，我们将以 为底的数转换为以 10 为底的数：

问题所给的条件是 整除 ，这意味着 必须是 的因数。

因此，分数 必须是一个整数。

我们对该分数进行代数变形：

因为 是一个整数，所以要使整个表达式为整数， 也必须是一个整数。
这意味着 必须是 56 的一个因数。

56 的所有正因数是：1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56。

根据题意，底数 必须满足条件 。
由此可得 ，即 。

我们现在在 56 的因数中寻找大于 16 的值，这些值是 28 和 56。
所以， 的可能值为 28 或 56。

  • 当 时，。 (满足 )
  • 当 时，。 (满足 )

因此，所有满足条件的整数底数 为 21 和 49。这些底数的和为：

I-2. 在 ▲ABC 中，点 A, D, E, B 依次排列在边 AB 上，使得 AD=4, DE=16, EB=8。点 A, F, G, C 依次排列在边 AC 上，使得 AF=13, FG=52, GC=26。已知四边形 DEGF 的面积为 288。设 M 是点 D 关于点 F 的反射点（对称点），N 是点 G 关于点 E 的反射点。求七边形 AFNBCEM 的面积。

解：

好的，我们按照您提供的思路，使用更侧重于比例和几何变换的逻辑来重新组织解题过程。

1. 线段比例分析与平行关系

首先，分析边 和 上的线段长度和比例。

  • 边 :

    • .
    • .
    • 比例关系: .

  • 边 :

    • .
    • .
    • 比例关系: .

根据以上比例，我们发现：

根据泰勒斯定理（逆定理），这些比例关系意味着：

因此，四边形 是一个梯形。

2. 计算 的面积

设 代表 的面积。由于 , , 共用顶点 ，它们的面积比等于对应边乘积之比。

  • .
  • .

四边形 的面积为：

已知 ，可得：

接下来要拆分这个七边形的组成。

  1. 由反射（镜像）关系导出的面积相等关系

  • (D关于F的反射点为M):
    这意味着 是线段 的中点。
    对于 和 ，它们若以线段所在的直线 为底边，则它们的顶点 和 到直线 的距离（高）相等。因此：

  • (G关于E的反射点为N):
    这意味着 是线段 的中点。
    对于 和 ，它们共享底边 。它们的顶点 和 到直线 的距离（高）相等。因此：

  • 四边形面积关系:
    考虑四边形 和 。
    .
    在 中，因 是 中点，所以 是中线 。
    在 中，因 是 中点，所以 是中线 。
    因此，.

4. 七边形面积分解与求和

我们将七边形 的总面积视为由四个不重叠的区域构成：, 四边形 , , 和 。

现在，我们将每个区域的面积表示为 的分数：

  1. .

  2. .

  3. .
    和 共用高（从B到AC），面积比等于底之比：。
    .

  4. 和 共用高（从C到AB），面积比等于底之比：
    .

最后，将所有部分相加：

5. 结论

七边形 的面积等于 的面积。

Python 代码生成几何图形

几何问题可视化图形

您可以使用下面的 Python 代码（需要 matplotlib 和 numpy 库）来可视化这个问题中的图形。

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from matplotlib.patches import Polygon

def plot_geometry_with_guidelines():
    """
    This function generates and plots the geometry from the problem,
    including red dashed lines for the reflections.
    """
    # --- 1. Define coordinates based on the problem ---
    # We set up a coordinate system to represent the triangle.
    # Let A be at the origin (0,0) and B lie on the x-axis.
    # From the solution, Area = 588 and base AB = 28.
    # Area = 1/2 * base * height => 588 = 1/2 * 28 * y_c => y_c = 42.
    # The length of side AC is 91.
    # x_c^2 + y_c^2 = 91^2 => x_c^2 = 91^2 - 42^2
    # x_c = sqrt((91-42)*(91+42)) = sqrt(49*133) = 7 * sqrt(133)
    
    A = np.array([0, 0])
    B = np.array([28, 0])
    C = np.array([7 * np.sqrt(133), 42])

    # Calculate coordinates for points on the sides
    # Points on side AB
    D = A + (4/28) * (B - A)
    E = A + (20/28) * (B - A)
    
    # Points on side AC
    F = A + (13/91) * (C - A)
    G = A + (65/91) * (C - A)

    # Calculate coordinates for the reflected points
    M = 2 * F - D  # M is the reflection of D through F
    N = 2 * E - G  # N is the reflection of G through E

    # --- 2. Create polygons for visualization ---
    triangle_ABC = Polygon([A, B, C], facecolor='cyan', alpha=0.3, edgecolor='blue', label='Triangle ABC')
    quad_DEGF = Polygon([D, E, G, F], facecolor='orange', alpha=0.5, edgecolor='red', label='Quadrilateral DEGF')
    heptagon = Polygon([A, F, N, B, C, E, M], facecolor='green', alpha=0.4, edgecolor='black', label='Heptagon AFNBCEM')

    # --- 3. Plotting Setup ---
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 9))
    
    # Add polygons to the plot
    ax.add_patch(triangle_ABC)
    ax.add_patch(quad_DEGF)
    ax.add_patch(heptagon)

    # Add the reflection auxiliary lines
    # Line from D to M (passing through F)
    ax.plot([D[0], M[0]], [D[1], M[1]], color='red', linestyle='--', label='Reflection Lines')
    # Line from G to N (passing through E)
    ax.plot([G[0], N[0]], [G[1], N[1]], color='red', linestyle='--')

    # Plot all key points and their labels
    points = {'A': A, 'B': B, 'C': C, 'D': D, 'E': E, 'F': F, 'G': G, 'M': M, 'N': N}
    for name, p in points.items():
        ax.plot(p[0], p[1], 'o', color='black', markersize=5)
        ax.text(p[0] + 0.5, p[1] + 0.8, name, fontsize=12, ha='center', va='bottom')

    # --- 4. Final Plot Adjustments ---
    ax.set_aspect('equal', 'box')
    ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)
    ax.legend()
    plt.title('Geometric Visualization with Reflection Lines')
    plt.xlabel('X-coordinate')
    plt.ylabel('Y-coordinate')
    
    # Adjust plot limits to ensure all points are visible
    x_coords = [p[0] for p in points.values()]
    y_coords = [p[1] for p in points.values()]
    plt.xlim(min(x_coords) - 5, max(x_coords) + 5)
    plt.ylim(min(y_coords) - 5, max(y_coords) + 5)
    
    plt.show()

# To run the code and generate the plot:
plot_geometry_with_guidelines()

I-3. 一个棒球队的9名队员去了一家冰淇淋店。每个队员都要了一个单球甜筒，口味可以是巧克力、香草或草莓。已知每种口味都至少有一名队员选择，并且选择巧克力的人数大于选择香草的人数，而选择香草的人数又大于选择草莓的人数。设满足这些条件的不同口味分配方案总数为 N。求 N 除以 1000 的余数。

解:

1. 定义变量与约束条件

我们首先将问题转化为一个整数方程求解。
设选择巧克力、香草和草莓的球员人数分别为 。

根据题意，这些变量必须满足以下所有条件：

  1. 总人数为9：
  2. 每种口味至少有一人选择：
  3. 人数有严格的大小顺序：

综合这些条件，我们要寻找满足 的所有正整数解 。

2. 寻找所有可能的整数分组方案

我们通过系统地尝试 的可能值来找出所有分组方案。由于 是最小的数，且 是严格递增的正整数，我们可以推断：

将这些加起来：。
因为 ，所以 。
因此， 的值只可能是 1 或 2。

  • 情况一：当
    此时 且 。

    • 若 ，则 。满足 。得到分组 (6, 2, 1)。
    • 若 ，则 。满足 。得到分组 (5, 3, 1)。
    • 若 ，则 ，不满足 。

  • 情况二：当
    此时 且 。

    • 若 ，则 。满足 。得到分组 (4, 3, 2)。
    • 若 ，则 ，不满足 。

综上所述，共有 3 种可能的分组方案。

3. 计算每种分组方案的分配数

对于每种分组方案，我们需要计算将9名不同的球员分配到这三个口味组中的方法数。这是一个多项式系数问题，其计算公式为 。

  • 对于分组 (6, 2, 1):
    将9名球员分为6人（巧克力）、2人（香草）、1人（草莓）的方案数 为：

  • 对于分组 (5, 3, 1):
    将9名球员分为5人、3人、1人的方案数 为：

  • 对于分组 (4, 3, 2):
    将9名球员分为4人、3人、2人的方案数 为：

4. 计算总方案数 N

总方案数 是所有可能情况下的方案数之和。

5. 求 N 除以 1000 的余数

最后，我们计算 对 1000 取模。

所以，余数是 16。

6. 答案:

N 除以 1000 的余数是 16。

I-4.求有序整数对 (x,y) 的数量，其中 x 和 y 均为 [-100, 100] 范围内的整数，且满足方程 12x^2-xy-6y^2=0。

解:

1. 因式分解方程

给定的方程是一个关于 和 的二次齐次方程。我们可以将其因式分解。把该方程看作是关于 的一元二次方程，我们可以尝试分解二次项 和常数项 。

我们可以将它分解为两个线性因子的乘积：

验证:

分解正确。

2. 导出线性关系

为了使两个因子的乘积为零，其中至少一个因子必须为零。这给了我们两种可能的情况：

  • 情况一:
  • 情况二:

我们需要分别计算在这两种情况下，满足整数和范围约束的 对的数量。

3. 分析情况一: 4x = 3y

为了使整数 和 满足此方程， 必须是 3 的倍数，同时 必须是 4 的倍数。我们可以引入一个整数参数 来表示所有的整数解：
令 , 则 。
因此，所有解的形式为 。

现在，我们将范围约束应用于 和 ：

整数 必须同时满足这两个条件，因此我们取两个范围的交集，即更严格的那个范围：

因此， 的可能取值为

整数 的数量为:

所以，在情况一中有 51 个满足条件的有序对。

4. 分析情况二: 3x = -2y

同样，为了使整数 和 满足此方程， 必须是 2 的倍数， 必须是 3 的倍数。我们引入另一个整数参数 ：
令 , 则 。
所有解的形式为 。

应用范围约束：

整数 必须同时满足这两个条件，我们取其交集：

因此， 的可能取值为
整数 的数量为:
所以，在情况二中有 67 个满足条件的有序对。

5. 处理重叠解并计算总量

两种情况的解集都包含了一个共同的解。当 时，情况一的解为 。当 时，情况二的解也为 。这是唯一重叠的解。

根据容斥原理，总的有序对数量为两种情况的数量之和减去重叠部分的数量。

6. 答案:

满足条件的有序整数对 的数量是 117。

I-5. 使用数字 1,2,3,4,5,6,7,8 各一次可以组成 8! = 40320 个不同的八位正整数。设 N 是这些整数中能被 22 整除的个数。求 N 与 2025 的差。

解:

1. 分析整除条件

一个数能被 22 整除，当且仅当它同时能被 2 和 11 整除。

  • 被 2 整除: 该数的末位数字必须是偶数。在给定的数字集合 中，偶数有 。
  • 被 11 整除: 该数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差是 11 的倍数。

设八位数为 。
令奇数位数字的集合为 ，其元素之和为 。
令偶数位数字的集合为 ，其元素之和为 。

根据被 11 整除的规则， 必须是 11 的倍数。

2. 求解数字分组

所有八个数字的总和为：

我们有以下方程组：

两式相加得到 。由于 是整数，所以 必须是偶数，这意味着 必须是偶数，因此 必须是偶数。

以及， 是从集合 中选取 4 个不同数字的和，它的取值范围是：

  • 最小和:
  • 最大和:

代入 ，我们测试偶数 的值：

  • 若 , 则 。这在 范围内，可行。
  • 若 , 则 ，超出范围。
  • 若 , 则 ，超出范围。

因此，唯一可能的解是 ，这意味着 ，即 。

问题转化为：从集合 中选出 4 个数字，使其和为 18。这些数字将构成奇数位数字的集合 。

满足条件的集合 共有 8 组：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

一旦集合 确定，集合 （偶数位数字）也随之确定。

3. 结合被 2 整除的条件

数字的末位 必须是偶数。由于 处于偶数位，它的值必须来自集合 。
一个关键的观察是：对于上述任意一个和为 18 的集合 ，它都包含 2 个奇数和 2 个偶数。

  • 证明：集合中奇数的和必为偶数，才能使总和为偶数（18）。4个奇数的和是奇数+奇数+奇数+奇数=偶数，2个奇数的和是偶数，0个奇数的和是偶数。经检验，所有8组解都含有2个奇数和2个偶数。
  • 推论：因为总共有4个奇数和4个偶数，所以如果集合 有2个奇数和2个偶数，那么其补集 也必定有2个奇数和2个偶数。

因此，对于任意一种分组方式，偶数位上的数字集合 中都恰好有两个偶数。

4. 计算总数 N

我们来计算对于一种特定的分组，例如 和 ，有多少种排列方式。

  1. 确定末位 : 必须是集合 中的偶数，即 4 或 6。有 2 种选择。
  2. 排列偶数位: 剩下的 3 个偶数位 () 可以由集合 中剩余的 3 个数字任意排列。有 种方式。
  3. 排列奇数位: 4 个奇数位 () 可以由集合 中的 4 个数字任意排列。有 种方式。

所以，对于每一种分组，满足条件的排列数为：

我们总共有 8 种不同的方式来选择集合 （即 8 种分组方式），所以总数 为：

5. 计算最终结果

题目要求计算 与 2025 的差。

6. 答案:

N 与 2025 的差是 279。

I-6. 一个等腰梯形有一个内切圆，该圆与梯形的四条边都相切。圆的半径为3，梯形的面积为72。设梯形的两个平行边长分别为 r 和 s，且 r != s。求 r^2+s^2 的值。

解:

1. 利用面积和半径求高与底之和

对于一个有内切圆的梯形，它的高 等于内切圆的直径。
已知半径 ，则：

梯形的面积公式为：

我们将已知值代入公式：

2. 利用内切性质求斜边

根据皮托管定理（Pitot’s Theorem），一个拥有内切圆的四边形，其对边和相等。对于等腰梯形，设其不平行的斜边长为 ，则：

将上一部分的结果代入，我们得到：

3. 利用勾股定理求底之差

我们可以从梯形较短的底的两个端点向较长的底作高，从而得到两个全等的直角三角形。

  • 直角三角形的高为梯形的高 。
  • 直角三角形的斜边为梯形的斜边 。
  • 直角三角形的底边长为 （假设 ）。

根据勾股定理：

4. 求解 r^2 + s^2

我们现在拥有一个关于 和 的方程组：

为了求解 ，我们可以利用以下恒等式：

代入我们求得的值：

5. 答案

所以， 的值是 504。

Python 代码生成几何图形

几何问题可视化图形

您可以使用下面的 Python 代码（需要 matplotlib 和 numpy 库）来可视化这个问题中的图形。

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import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from matplotlib.patches import Polygon, Circle

def plot_trapezoid():
    """
    This function generates a plot of the isosceles trapezoid
    with its inscribed circle and labeled dimensions.
    """
    # --- 1. Define geometric parameters based on the solution ---
    R = 3.0
    h = 2 * R
    r_plus_s = 24.0
    c = 12.0
    
    # From the solution, we derived s-r.
    # (s-r)/2 = 6 * sqrt(3)
    s_minus_r = 12 * np.sqrt(3)
    
    # Solve for s and r for plotting purposes
    s = (r_plus_s + s_minus_r) / 2
    r = (r_plus_s - s_minus_r) / 2
    
    # --- 2. Define coordinates for plotting ---
    # Center the trapezoid on the y-axis for symmetry
    # Vertices in counter-clockwise order from bottom-left
    v1 = np.array([-s/2, 0])  # Bottom-left
    v2 = np.array([s/2, 0])   # Bottom-right
    v3 = np.array([r/2, h])   # Top-right
    v4 = np.array([-r/2, h])  # Top-left
    
    # Helper point for drawing the altitude
    altitude_point = np.array([r/2, 0])
    
    # --- 3. Setup the plot ---
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(12, 8))
    ax.set_aspect('equal', 'box')
    ax.grid(True, linestyle='--', alpha=0.6)

    # --- 4. Draw the shapes ---
    # Draw the trapezoid
    trapezoid = Polygon([v1, v2, v3, v4], facecolor='skyblue', alpha=0.6, edgecolor='black', linewidth=1.5)
    ax.add_patch(trapezoid)
    
    # Draw the inscribed circle
    inscribed_circle = Circle((0, R), R, facecolor='lightcoral', alpha=0.7, edgecolor='red')
    ax.add_patch(inscribed_circle)
    
    # Draw the height altitude line
    ax.plot([v3[0], altitude_point[0]], [v3[1], altitude_point[1]], 'k--')
    
    # --- 5. Add labels with string formatting for irrational numbers ---
    # Label for bottom base 's'
    ax.text(0, -1, r'$s = 12 + 6\sqrt{3}$', ha='center', va='center', fontsize=12)
    
    # Label for top base 'r'
    ax.text(0, h + 1, r'$r = 12 - 6\sqrt{3}$', ha='center', va='center', fontsize=12)
    
    # Label for height 'h'
    ax.text(v3[0] + 0.3, h/2, 'h = 6', ha='left', va='center', fontsize=12)
    
    # Label for non-parallel side 'c'
    side_midpoint = (v2 + v3) / 2
    ax.text(side_midpoint[0] + 0.3, side_midpoint[1], 'c = 12', ha='left', va='center', fontsize=12, rotation=-70)
    
    # Label for the base of the right triangle
    triangle_base_midpoint = (altitude_point + v2) / 2
    ax.text(triangle_base_midpoint[0], -0.5, r'$\frac{s-r}{2} = 6\sqrt{3}$', ha='center', va='center', fontsize=12)

    # Label for the radius
    ax.plot([0, 0], [0, R], 'r-')
    ax.text(0.2, R/2, 'R = 3', ha='left', va='center', color='red')

    # --- 6. Final plot adjustments ---
    plt.title('Isosceles Trapezoid with Inscribed Circle')
    plt.xlabel('X-coordinate')
    plt.ylabel('Y-coordinate')
    
    # Set plot limits to ensure all labels are visible
    ax.set_xlim(v1[0] - 2, v2[0] + 2)
    ax.set_ylim(-2, h + 2)
    
    plt.show()

# Run the function to generate the plot
plot_trapezoid()

I-7. 十二个字母 A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L 被随机地分成六个字母对。每对中的两个字母按字母表顺序排列，形成六个双字母单词，然后这六个单词按字母表顺序排列。例如，一个可能的结果是 AB, CJ, DG, EK, FL, HI。如果最后一个列出的单词包含 G 的概率是 m/n，其中 m 和 n 是互质的正整数，求 m+n 的值。

解:

1. 分析问题和事件

首先我们来明确“最后一个单词”的含义。六个双字母单词是按字母表顺序排列的，这意味着它们的顺序由每个单词的第一个字母决定。例如， 在 之后，因为 。因此，“最后一个单词”就是那个拥有字母表中最大首字母的单词。

事件是“最后一个单词包含 ”。这意味着，在包含 的那个字母对中，其按字母表顺序排在前面的那个字母，是所有六个单词的首字母中最大的一个。

2. 采用条件概率法

直接计算总的配对方式比较复杂，我们可以换一个角度，从字母 出发，分析与它配对的是哪个字母。G 可以与其余 11 个字母中的任意一个配对，每种情况的概率是均等的。

我们将这 11 个字母分为两组：

  • 小于 G 的字母 (共 6 个)
  • 大于 G 的字母 (共 5 个)

我们将根据 的配对伙伴属于哪个组来分情况讨论。

3. 分析两种情况

情况 A: G 与 S_小 中的字母配对(不可能)

这种情况发生的概率是 。
假设 与一个字母 配对，其中 (即 )。根据规则，组成的单词是 ，其首字母是 。
此时，剩下的 10 个字母需要组成 5 对。这 10 个字母中包含了所有 的成员 ()。无论如何配对，例如 H 与 I 配对成 HI，或者 H 与 A 配对成 AH，都必然会产生至少一个首字母（如 H 或 A）大于 的单词。
因此， 这个单词的首字母 不可能是所有六个单词中最大的首字母。
在这种情况下，包含 的单词不可能是最后一个单词。所以，此情况下事件发生的概率为 0。

情况 B: G 与 S_大 中的字母配对

这种情况发生的概率是 。

假设 与一个字母 配对，其中 (即 )。根据规则，组成的单词是 ，其首字母是 。
要使 成为最后一个单词，其余五个单词的首字母都必须小于 。
剩下的 10 个字母分别是 6 个 字母和 4 个 字母（）。
要使这五对单词的首字母都小于 ，它们的首字母必须全部来自集合 。这要求剩下的 4 个“大”字母（H,I,J,K,L中的4个）必须全部与“小”字母配对，从而使它们成为单词的第二个字母。

4. 计算条件概率

现在我们计算在“情况 B”这个前提下，事件发生的概率。
前提：G 已与一个“大”字母配对。
任务：从剩下的 6 个“小”字母和 4 个“大”字母中组成 5 对，求这 4 个“大”字母全部与“小”字母配对的概率。

我们可以只关注这 4 个“大”字母的配对情况。这里的 大字母是无序的

  • 从第一个“大”字母（比如 H）的角度看，它有 9 个可能的配对伙伴（6小+3大）。它必须与 6 个“小”字母中的一个配对，概率是 。
  • 假设 H 配对成功，轮到第二个“大”字母（比如 I）。此时剩下 8 个字母（5小+3大）。它必须与 5 个“小”字母中的一个配对，概率是 。 (因为总共剩下7个字母可以和I配对)
  • 轮到第三个“大”字母（比如 J）。此时剩下 6 个字母（4小+2大）。它与“小”字母配对的概率是 。
  • 轮到最后一个“大”字母（比如 K）。此时剩下 4 个字母（3小+1大）。它与“小”字母配对的概率是 。

因此，条件概率为：

5. 计算总概率和最终答案

使用全概率公式，总概率 为：

概率为 。经检验，40 () 和 231 () 互质，所以 且 。
题目要求计算 。

6. 答案

的值是 271。

… [To be updated] …

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